高斯消元法，使用条件？

一、高斯消元法，使用条件？

高斯消元法

数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。

二、什么是高斯消元法？

数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。一些极大的方程组通常会用叠代法来解决。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。　高斯消元法可用来找出下列方程组的解或其解的限制：　　2x + y - z = 8 (L1)　　-3x - y + 2z = -11 (L2)　　-2x + y + 2z = -3 (L3)　　这个算法的原理是：　　首先，要将L1 以下的等式中的x 消除，然后再将L2 以下的等式中的y 消除。这样可使整个方程组变成一个三角形似的格式。之后再将已得出的答案一个个地代入已被简化的等式中的未知数中，就可求出其余的答案了。　　在刚才的例子中，我们将3/2 L1和L2相加，就可以将L2 中的x 消除了。然后再将L1 和L3相加，就可以将L3 中的x 消除。　　我们可以这样写：　　L2 + 3/2 L1→ L2　　L3 + L1 → L3　　结果就是：　　2x + y - z = 8　　1/2 y + 1/2 z = 1　　2y + z = 5　　现在将 − 4L2 和L3 相加，就可将L3 中的y 消除：　　L3 + -4 L2 → L3　　其结果是：　　2x + y - z = 8　　1/2y + 1/2z = 1　　-z = 1　　这样就完成了整个算法的初步，一个三角形的格式(指:变量的格式而言,上例中的变量各为3,2,1个)出现了。　　第二步，就是由尾至头地将已知的答案代入其他等式中的未知数。第一个答案就是：　　z = -1　　然后就可以将z 代入L2 中，立即就可得出第二个答案：　　y = 3　　之后，将z 和y 代入L1 之中，最后一个答案就出来了：　　x = 2　　就是这样，这个方程组就被高斯消元法解决了。　　这种算法可以用来解决所有线性方程组。即使一个方程组不能被化为一个三角形的格式，高斯消元法仍可找出它的解。例如在第一步化简后，L2 及L3 中没有出现任何y ，没有三角形的格式，照着高斯消元法而产生的格式仍是一个行梯阵式。这情况之下，这个方程组会有超过一个解，当中会有至少一个变量作为答案。每当变量被锁定，就会出现一个解。　　通常人或电脑在应用高斯消元法的时候，不会直接写出方程组的等式来消去未知数，反而会使用矩阵来计算。以下就是使用矩阵来计算的例子：　　2 1 -1 8　　-3 -1 2 -11　　-2 1 2 -3　　跟着以上的方法来运算，这个矩阵可以转变为以下的样子：　　2 1 -1 8　　0 1/2 1/2 1　　0 0 -1 1　　这矩阵叫做“行梯阵式”。　　最后，可以利用同样的算法产生以下的矩阵，便可把所得出的解或其限制简明地表示出来：　　1 0 0 2　　0 1 0 3　　0 0 1 -1　　最后这矩阵叫做“简化行梯阵式”，亦是高斯－约当消元法指定的步骤。

三、matlab高斯消元法怎么输入？

function[x,XA]=GaussXQByOrder(A,b)%高斯顺序消元法N=size(A);n=N(1)

;fori=1:(n-1)forj=(i+1):nif(A(i,i)==0)disp('对角元素为0！')

;%防止对角元素为0return;endl=A(j,i);m=A(i,i);A(j,1:n)=A(j,1:n)-l*A(i,1:n)/m;%消元方程b(j)=b(j)-l*b(i)/m;endendx=SolveUpTriangle(A,b)

;%通用的求上三角系数矩阵线性方程组的函数XA=A;%消元后的系数矩阵functionx=SolveUpTriangle(A,b)N=size(A)

;n=N(1)

;fori=n:-1:1if(i<n)s=A(i,(i+1):n)*x((i+1):n,1)

;elses=0;endx(i,1)=(b(i)-s)/A(i,i)

;end程序如上，自己算吧。这个东西应该尝试自己编程 参考资料： matlab常用算法

四、深入解析：如何实现高斯消元法的编程

编程领域中，高斯消元法是一种经典的线性代数计算方法，被广泛运用于解决线性方程组。通过对其原理和实现细节的深入探究，可以更好地理解算法的运作机制，提高编程能力。下面我们将深度解析如何实现高斯消元法的编程。

高斯消元法简介

高斯消元法，又称为高斯-若尔当消元法，是一种线性代数中用于求解线性方程组解的方法。它通过一系列的行变换操作，将增广矩阵化简为行阶梯形矩阵，进而得到方程组的解。

高斯消元法原理

高斯消元法的基本原理是利用线性方程组的性质进行变换，使得系数矩阵转化为上三角矩阵，从而简化求解过程。通过主元的选取和消元操作，逐步将矩阵化为行阶梯形，最终得到方程组的解。

高斯消元法步骤

实现高斯消元法的编程，主要包括以下几个步骤：

• 1. 构建增广矩阵： 将系数矩阵和常数项合并成增广矩阵。
• 2. 消元操作： 逐行处理增广矩阵，通过乘法倍加和交换行的操作，将矩阵化为行阶梯形。
• 3. 回代求解： 从最后一行开始，逐步回代求解未知数。

高斯消元法实现

在实现高斯消元法的编程过程中，需要考虑主元的选取、数值稳定性以及算法的优化等问题。通过编写高效且稳定的代码，可以提高算法的求解速度和精度。

应用领域

高斯消元法在工程计算、信号处理、机器学习等领域有着广泛的应用。通过编程实现高斯消元法，能够解决复杂的线性方程组，为实际问题的求解提供了有力的工具。

感谢您阅读本文，希术通过深入解析如何实现高斯消元法的编程，能够帮助您更好地理解算法原理，提升编程技能。

五、用matlab程序法编出高斯消元法？

function[x,XA]=GaussXQByOrder(A,b)%高斯顺序消元法N=size(A);n=N(1)

;fori=1:(n-1)forj=(i+1):nif(A(i,i)==0)disp('对角元素为0！')

;%防止对角元素为0return;endl=A(j,i);m=A(i,i);A(j,1:n)=A(j,1:n)-l*A(i,1:n)/m;%消元方程b(j)=b(j)-l*b(i)/m;endendx=SolveUpTriangle(A,b)

;%通用的求上三角系数矩阵线性方程组的函数XA=A;%消元后的系数矩阵functionx=SolveUpTriangle(A,b)N=size(A)

;n=N(1)

;fori=n:-1:1if(i<n)s=A(i,(i+1):n)*x((i+1):n,1)

;elses=0;endx(i,1)=(b(i)-s)/A(i,i)

;end程序如上，自己算吧。这个东西应该尝试自己编程 参考资料： matlab常用算法

六、高斯消元法求逆矩阵例题？

高斯消元对矩阵求逆，设A∗B=C，C为单位矩阵，则B为A的逆矩阵。 做法是把B先设成单位矩阵，然后对A做高斯消元的过程

七、C语言编写高斯消元法程序？

#include

#include

using namespace std;

#define MAX 50

void input(double a[MAX][MAX+1],int n)

{

cout

for(int i=0;i

八、全主元高斯消元法的基本思路？

1.选择一个尚未被选过的未知数作为主元，选择一个包含这个主元的方程。

2.将这个方程主元的系数化为1。

3.通过加减消元，消掉其它方程中的这个未知数。

4.重复以上步骤/

九、说明高斯消元法求解和化简网络方程的过程？

高斯消元法(Gaussian elimination)是求解线性方阵组的一种算法，它也可用来求矩阵的秩，以及求可逆方阵的逆矩阵。

它通过逐步消除未知数来将原始线性系统转化为另一个更简单的等价的系统。

它的实质是通过初等行变化(Elementary row operations)，将线性方程组的增广矩阵转化为行阶梯矩阵(row echelon form).

十、根据高斯消元法的思路，编写求逆矩阵的程序？

矩阵求逆的快速算法

算法介绍

矩阵求逆在3D程序中很常见，主要应用于求Billboard矩阵。按照定义的计算方法乘法运算，严重影响了性能。在需要大量Billboard矩阵运算时，矩阵求逆的优化能极大提高性能。这里要介绍的矩阵求逆算法称为全选主元高斯-约旦法。

高斯-约旦法（全选主元）求逆的步骤如下：

首先，对于 k 从 0 到 n - 1 作如下几步：

从第 k 行、第 k 列开始的右下角子阵中选取绝对值最大的元素，并记住次元素所在的行号和列号，在通过行交换和列交换将它交换到主元素位置上。这一步称为全选主元。

m(k, k) = 1 / m(k, k)

m(k, j) = m(k, j) * m(k, k)，j = 0, 1, ..., n-1；j != k

m(i, j) = m(i, j) - m(i, k) * m(k, j)，i, j = 0, 1, ..., n-1；i, j != k

m(i, k) = -m(i, k) * m(k, k)，i = 0, 1, ..., n-1；i != k

最后，根据在全选主元过程中所记录的行、列交换的信息进行恢复，恢复的原则如下：在全选主元过程中，先交换的行（列）后进行恢复；原来的行（列）交换用列（行）交换来恢复。

实现(4阶矩阵)

float Inverse(CLAYMATRIX& mOut, const CLAYMATRIX& rhs)

{

CLAYMATRIX m(rhs);

DWORD is[4];

DWORD js[4];

float fDet = 1.0f;

int f = 1;

for (int k = 0; k < 4; k ++)

{

// 第一步，全选主元

float fMax = 0.0f;

for (DWORD i = k; i < 4; i ++)

{

for (DWORD j = k; j < 4; j ++)

{

const float f = Abs(m(i, j));

if (f > fMax)

{

fMax = f;

is[k] = i;

js[k] = j;

}

}

}

if (Abs(fMax) < 0.0001f)

return 0;

if (is[k] != k)

{

f = -f;

swap(m(k, 0), m(is[k], 0));

swap(m(k, 1), m(is[k], 1));

swap(m(k, 2), m(is[k], 2));

swap(m(k, 3), m(is[k], 3));

}

if (js[k] != k)

{

f = -f;

swap(m(0, k), m(0, js[k]));

swap(m(1, k), m(1, js[k]));

swap(m(2, k), m(2, js[k]));

swap(m(3, k), m(3, js[k]));

}

// 计算行列值

fDet *= m(k, k);

// 计算逆矩阵

// 第二步

m(k, k) = 1.0f / m(k, k);

// 第三步

for (DWORD j = 0; j < 4; j ++)

{

if (j != k)

m(k, j) *= m(k, k);

}

// 第四步

for (DWORD i = 0; i < 4; i ++)

{

if (i != k)

{

for (j = 0; j < 4; j ++)

{

if (j != k)

m(i, j) = m(i, j) - m(i, k) * m(k, j);

}

}

}

// 第五步

for (i = 0; i < 4; i ++)

{

if (i != k)

m(i, k) *= -m(k, k);

}

}

for (k = 3; k >= 0; k --)

{

if (js[k] != k)

{

swap(m(k, 0), m(js[k], 0));

swap(m(k, 1), m(js[k], 1));

swap(m(k, 2), m(js[k], 2));

swap(m(k, 3), m(js[k], 3));

}

if (is[k] != k)

{

swap(m(0, k), m(0, is[k]));

swap(m(1, k), m(1, is[k]));

swap(m(2, k), m(2, is[k]));

swap(m(3, k), m(3, is[k]));

}

}

mOut = m;

return fDet * f;

}

比较

原算法 原算法(经过高度优化) 新算法

加法次数 103 61 39

乘法次数 170 116 69

需要额外空间 16 * sizeof(float) 34 * sizeof(float) 25 * sizeof(float)